解説

M/M/1待ち行列モデルにおける平均回線待ち時間と回線利用率の関係を問う問題です。与えられた式は「平均回線待ち時間 ＝ 平均伝送時間 × 回線利用率 ÷（1−回線利用率）」です。回線利用率をρ（ロー）と置くと、平均回線待ち時間 ＝ 平均伝送時間 × ρ/(1−ρ) となります。平均回線待ち時間が平均伝送時間より長くなる条件は、ρ/(1−ρ) ＞ 1 です。この不等式を解くと、ρ ＞ 1−ρ となり、両辺をまとめて 2ρ ＞ 1、すなわち ρ ＞ 0.5 が得られます。したがって回線利用率が0.5を超えたときに待ち時間が伝送時間を上回り、選択肢bの0.5が正解です。M/M/1モデルでは、利用率が1（100%）に近づくにつれて待ち時間が急激に増大する（発散する）という重要な性質があり、利用率を高く保ちすぎると応答性能が極端に悪化することを示しています。性能設計では利用率に余裕をもたせることが肝要です。

なぜ他の選択肢は違うのか

選択肢 ア

0.4は誤りです。ρ＝0.4を式に代入すると、ρ/(1−ρ) ＝ 0.4/0.6 ＝ 0.667 となり1未満です。つまり平均回線待ち時間は平均伝送時間の約0.67倍にとどまり、まだ伝送時間を超えていません。待ち時間が伝送時間より長くなる境界は ρ＝0.5 であり、0.4ではその条件を満たしていません。

選択肢 ウ

0.6は誤りです。ρ＝0.6では ρ/(1−ρ) ＝ 0.6/0.4 ＝ 1.5 となり、確かに待ち時間は伝送時間を超えています。しかし問いは「超え始める境界の値」を尋ねており、0.6はその境界（0.5）を既に上回った後の値です。条件を最初に満たすのは ρ＝0.5 を超えた瞬間であり、0.6は最小の境界値ではありません。

選択肢 エ

0.7は誤りです。ρ＝0.7では ρ/(1−ρ) ＝ 0.7/0.3 ≒ 2.33 と待ち時間は伝送時間の2倍以上になりますが、これも境界を大きく超えた後の値です。待ち時間が伝送時間を上回り始める境界は不等式 ρ＞1−ρ を解いた ρ＝0.5 であり、0.7ではありません。問いが求めているのは待ち時間が伝送時間を上回り始める境界値であり、0.7は不等式ρ＞1−ρの解である0.5をすでに大きく超えた後の値にすぎません。

解くときのポイント

M/M/1の待ち時間は ρ/(1−ρ) に比例。待ち時間＝伝送時間となる境界は ρ/(1−ρ)＝1 → ρ＝0.5。利用率が1に近づくと待ち時間が急激に発散する性質が重要。式を不等式にして解く。