解説

M/M/1の待ち行列モデルにおける平均待ち時間の公式を使います。M/M/1モデルでは平均待ち時間Wq＝ρ/(μ(1-ρ))で表されます。ここでρ＝利用率（システム利用率）、μ＝サービス速度（1/T：平均処理時間の逆数）です。条件から1件の処理時間はT秒の指数分布に従うのでμ＝1/T。Wq≧Tとなる条件：ρ/(μ(1-ρ)) ≧ T → ρ/((1/T)(1-ρ)) ≧ T → Tρ/(1-ρ) ≧ T → ρ/(1-ρ) ≧ 1 → ρ ≧ 1-ρ → 2ρ ≧ 1 → ρ ≧ 0.5（50%）。よって利用率が50%以上になったとき平均待ち時間がT秒以上になります（選択肢b）。

なぜ他の選択肢は違うのか

選択肢 ア

33%は利用率1/3を意味しますが、ρ/(1-ρ)≧1を解くと50%であり、33%では待ち時間はTの半分程度（0.5T）にしかなりません。

選択肢 ウ

67%はρ＝2/3で、この場合Wq＝(2/3)/((1/T)×(1/3))＝2Tとなり確かにT以上になりますが、50%でもすでに条件を満たすため「少なくとも何%以上」の最小値は50%です。

選択肢 エ

80%も条件を満たしますが、50%の時点で既に条件を満たすため「最低限必要な利用率」は50%です。

解くときのポイント

M/M/1の平均待ち時間Wq＝ρ/(μ(1-ρ))の公式を覚える。問題の「処理時間の平均がT秒」はμ＝1/Tを意味する。Wq≧Tの条件式を変形してρ≧0.5を導く手順を練習しておく。