解説

M/M/1待ち行列モデルにおける平均待ち時間（サービス時間を除く）の公式は W = ρ/(1-ρ) × Ts です（ρは利用率、Tsは平均サービス時間）。統合後の条件を整理します。統合前の各支店でATMの利用率はρ、平均サービス時間をTs0とすると、到着率λ0は ρ = λ0×Ts0 より λ0 = ρ/Ts0。統合後の到着率は両支店の合計で 2λ0 = 2ρ/Ts0。統合後の平均サービス時間はTs（問題条件）なので、処理能力（サービス率μ）は 1/Ts。統合後の利用率ρ' = 2λ0 × Ts = 2ρ/Ts0 × Ts。ただし、統合前の利用率もρ = λ0 × Ts0 なので比率は保存されます。実は統合後の利用率 ρ' = 2ρ（到着率が2倍になりサービス時間が同じなら）と考えると、平均待ち時間 = ρ'/(1-ρ') × Ts = 2ρ/(1-2ρ) × Ts となります。選択肢dが正解です。

なぜ他の選択肢は違うのか

選択肢 ア

統合前の単一ATMの待ち時間式そのままで、利用率の変化（到着率2倍）を反映していません。統合後は到着率が2倍になるため利用率も2ρに変わります。

選択肢 イ

分子がρのままで到着率の2倍化が反映されていません。待ち時間の分子も2ρとなるべきです。

選択肢 ウ

分子は正しく2ρですが、分母が(1-ρ)のままで、統合後の利用率2ρを用いていません。分母は(1-2ρ)が正しいです。

解くときのポイント

M/M/1待ち行列の待ち時間 W = ρ/(1-ρ)×Ts を出発点に、統合で「到着率が2倍→利用率が2ρ」になることを丁寧に追う。利用率の変化を分子・分母の両方に反映するのがポイント。