解説

全体集合Sの部分集合A・Bについて、Ā∩B̄（AでもBでもない領域）に等しい式を選ぶ集合演算の問題です。ド・モルガンの法則より、Ā∩B̄ ＝ A∪B の補集合 ＝ S−(A∪B) と表せます。これは「AにもBにも属さない要素全体」を意味します。選択肢を検討します。差集合 Ā−B は「Āに属し、かつBに属さない要素」＝ Ā∩B̄ そのものです。Āは既に「Aに属さない要素」なので、そこからさらにBに属する要素を除けば、AにもBにも属さない領域だけが残り、Ā∩B̄ と一致します。したがって選択肢aのĀ−Bが正解です。ベン図を描いて、A・Bの2つの円の外側の領域（どちらにも含まれない部分）をイメージすると、各式が指す領域を視覚的に確認でき、確実に判別できます。ド・モルガンの法則「補集合の積＝和の補集合」「補集合の和＝積の補集合」は集合・論理の基本として必ず押さえましょう。差集合 X−Y は X∩(Yの補集合) と変形できるため、Ā−B＝Ā∩B̄ という対応も式変形から確認でき、ベン図と併せて理解すると確実です。

なぜ他の選択肢は違うのか

選択肢 イ

(Ā∪B̄)−(A∩B) は誤りです。Ā∪B̄ はド・モルガンの法則により A∩B の補集合に等しく、これは既にA∩Bと交わりを持たない領域です。そこからA∩Bを引いても領域は変わらず Ā∪B̄ のままで、これは「AとBの両方に属する要素以外すべて」を表します。Ā∩B̄（どちらにも属さない領域）よりも広く、一致しません。

選択肢 ウ

(S−A)∪(S−B) は誤りです。S−A＝Ā、S−B＝B̄ なので、この式は Ā∪B̄ を表します。これはド・モルガンの法則より A∩B の補集合であり、「AとBの両方に属する要素を除いた領域すべて」を意味します。求める Ā∩B̄（どちらにも属さない領域）はこれより狭く、ANDとORの違いから一致しません。

選択肢 エ

S−(A∩B) は誤りです。これは A∩B（AとBの両方に属する要素）の補集合 Ā∪B̄ を表します。すなわち「AとBの共通部分以外すべて」であり、Aだけに属する領域やBだけに属する領域も含みます。求める Ā∩B̄ はどちらにも属さない領域だけなので、範囲が広すぎて一致しません。Aだけに属する領域もBだけに属する領域も含んでしまう点で、どちらにも属さない狭い領域を表すĀ∩B̄とは決定的に異なります。

解くときのポイント

ド・モルガンの法則：Ā∩B̄＝(A∪B)の補集合、Ā∪B̄＝(A∩B)の補集合。集合式はベン図で領域を塗って確認するのが確実。差集合 X−Y＝X∩(Yの補集合) の変形も押さえる。