ハミング符号とは、データに冗長ビットを付加して、1ビットの誤りを訂正できるようにしたものである。ここでは、X1, X2, X3, X4の4ビットから成るデータに、3ビットの冗長ビットP3, P2, P1を付加したハミング符号X1 X2 X3 P3 X4 P2 P1を考える。付加したビットP1, P2, P3は、それぞれ X1 ⊕ X3 ⊕ X4 ⊕ P1 = 0 X1 ⊕ X2 ⊕ X4 ⊕ P2 = 0 X1 ⊕ X2 ⊕ X3 ⊕ P3 = 0 となるように決める。ここで、⊕は排他的論理和を表す。ハミング符号1110011には1ビットの誤りが存在する。誤りビットを訂正したハミング符号はどれか。

支援士令和4年春期問1 誤り訂正符号

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正解はウ

解説

ハミング符号1110011（X1=1, X2=1, X3=1, P3=0, X4=0, P2=1, P1=1）の誤りビットを特定する。チェック式を計算する：S1 = X1⊕X3⊕X4⊕P1 = 1⊕1⊕0⊕1 = 1（≠0、誤り）、S2 = X1⊕X2⊕X4⊕P2 = 1⊕1⊕0⊕1 = 1（≠0、誤り）、S3 = X1⊕X2⊕X3⊕P3 = 1⊕1⊕1⊕0 = 1（≠0、誤り）。シンドロームS3S2S1 = 111（2進数）= 7（10進数）より、7番目のビット（X1）が誤り。X1を0に訂正すると符号は0110011となる。正解は選択肢c（1100011）ではなく、選択肢a「0110011」である。

なぜ他の選択肢は違うのか

選択肢イ: 1010011はX2（2番目）を訂正した場合の値。シンドロームは7（X1）を示しており、X2の訂正は誤り。
選択肢エ: 1110111はP2（6番目）を訂正した場合。シンドローム111=7は第7ビット（X1）の誤りを示している。

解くときのポイント

ハミング符号はシンドローム（S3S2S1）の2進数値が誤りビットの位置を示す。符号語の位置は左から1番（P1）, 2番（P2）, 3番（X1）...ではなく、問題の定義に従い「X1 X2 X3 P3 X4 P2 P1」の左から7,6,5,4,3,2,1番と数える。