解説

線形計画法の典型問題です。製品 X を x 個、製品 Y を y 個生産するとして、制約条件を式にします。原料 A の制約: X に2、Y に1必要で調達可能量100なので 2x ＋ y ≦ 100。原料 B の制約: X に1、Y に2必要で調達可能量80なので x ＋ 2y ≦ 80。この制約の下で利益 100x ＋ 150y を最大化します。線形計画問題の最大値は実行可能領域の頂点（制約直線の交点）で生じるので、候補を計算します。①2直線の交点: 2x＋y＝100 と x＋2y＝80 を連立して解くと、x＝40、y＝20。利益は 100×40 ＋ 150×20 ＝ 4,000 ＋ 3,000 ＝ 7,000円。② x 軸上の端点（y＝0）: 2x≦100 より x＝50。利益は 5,000円。③ y 軸上の端点（x＝0）: 2y≦80 より y＝40。利益は 6,000円。最大は①の 7,000円であり、ウが正解です。線形計画の問題は「制約式を立てる → 交点と端点を求める → 各点の目的関数値を比較する」という3ステップで機械的に解けます。連立方程式の計算ミスにだけ注意しましょう。

なぜ他の選択肢は違うのか

選択肢 ア

5,000円は、製品 X だけを生産した場合（y＝0、原料 A の制約から x＝50）の利益 100×50 ＝ 5,000円です。単品種の生産では原料の使い残しが生じて利益を最大化できません。X と Y を組み合わせて両方の原料を使い切る配分（x＝40、y＝20）の方が、利益は 7,000円と大きくなります。端点だけでなく交点も必ず計算しましょう。

選択肢 イ

6,000円は、製品 Y だけを生産した場合（x＝0、原料 B の制約から y＝40）の利益 150×40 ＝ 6,000円です。1個当たりの利益が大きい Y に全振りしたくなりますが、Y は原料 B を2倍消費するため B がボトルネックになり40個までしか作れません。2つの制約をバランスさせる組合せ生産の方が総利益は大きくなります。

選択肢 エ

8,000円は、原料の調達可能量の制約を超えた生産量で計算した場合などに出てくる値であり、制約条件をすべて満たす範囲では実現できません。例えば x＝50、y＝20 とすれば利益は8,000円ですが、原料 A の必要量が 2×50＋20＝120 となり調達可能量100を超過します。求めた解が制約式を満たすかの検算を忘れないようにしましょう。

解くときのポイント

線形計画は3ステップ: ①制約式を立てる（2x+y≦100、x+2y≦80）②交点・端点を求める ③目的関数（100x+150y）を各点で比較。最大値はたいてい交点で生じる。解の制約充足も検算する。