解説

組合せの計算問題です。メンバ同士が1対1で、他の全メンバと1回ずつ打合せを行う場合、打合せの回数は n 人から2人を選ぶ組合せの数 C(n, 2) ＝ n(n−1)/2 で求められます。増員前は10人なので C(10, 2) ＝ 10 × 9 ÷ 2 ＝ 45回。2人増員して12人になると C(12, 2) ＝ 12 × 11 ÷ 2 ＝ 66回。増加分は 66 − 45 ＝ 21回となり、イが正解です。別の考え方として「増えた打合せ」を直接数えることもできます。新メンバ2人はそれぞれ既存の10人と打合せを行うので 2 × 10 ＝ 20回、さらに新メンバ同士の打合せが1回で、合計 20 ＋ 1 ＝ 21回です。2通りの方法で同じ答えになることを確かめれば検算にもなります。「1対1の打合せ」「全員と1回ずつ」という条件は組合せ C(n, 2) の典型的な合図であり、ネットワークの結線数や握手問題と同じ構造です。公式の適用と差分の取り方を確実に身につけましょう。

なぜ他の選択肢は違うのか

選択肢 ア

12 という値は、増員後の人数12人をそのまま答えてしまった場合や、計算の途中の数値を答えと取り違えた場合に選びがちな値です。問われているのは「打合せの回数が何回増えるか」であり、人数ではありません。C(12,2) − C(10,2) ＝ 66 − 45 ＝ 21 という差分の計算を最後まで行う必要があります。

選択肢 ウ

22 は、新メンバ2人がそれぞれ「自分以外の11人」と打合せをすると考えて 2 × 11 ＝ 22 とした場合の値です。この数え方では、新メンバ同士の打合せ（1回）を両方の側から1回ずつ、合計2回と二重に数えてしまっています。重複分の1回を引いた 22 − 1 ＝ 21 が正しい増加数です。組合せの数え上げでは同じペアを2回数えていないかの確認が欠かせません。

選択肢 エ

42 は、正しい増加数21をちょうど2倍した値で、打合せを「A から B へ」と「B から A へ」のように向きを区別して数えた（順列で数えた）場合に生じます。1対1の打合せは2人の組に対して1回なので、向きの区別は不要です。順列 P(n,2) ではなく組合せ C(n,2) を使う、すなわち2で割ることを忘れないようにしましょう。

解くときのポイント

「全員と1回ずつ打合せ」＝組合せ C(n,2)＝n(n−1)/2。増加分は C(12,2)−C(10,2)。新メンバ視点（2×10＋新同士1回＝21）でも数えて検算すると確実。