解説

関数の極限を求める問題です。f(t) ＝ a/(t＋1)、g(t) ＝ b/(t²−t) に対して g(t)/f(t) を計算します。分数の割り算なので、g(t)/f(t) ＝ [b/(t²−t)] × [(t＋1)/a] ＝ b(t＋1) / [a・t(t−1)] となります。ここで分子は t の1次式（b・t＋b）、分母は t の2次式（a・t²−a・t）です。t→∞ のとき、分子は t に比例して増加しますが、分母は t² に比例してより速く増加するため、分数全体は 0 に近づきます。形式的には分子・分母を t² で割ると、分子 → 0、分母 → a となり、極限は 0/a ＝ 0 です。a ≠ 0、b ≠ 0 という条件があるため分母が消える心配もありません。多項式の比の極限は「分子と分母の次数の比較」で即座に判定できます。分母の次数が高ければ 0、次数が等しければ最高次係数の比、分子の次数が高ければ ∞ に発散します。本問は分母（2次）が分子（1次）より高次なので 0 に収束し、アが正解です。

なぜ他の選択肢は違うのか

選択肢 イ

極限が1になるのは、分子と分母がまったく同じ速さで増加する場合、すなわち次数が等しく最高次の係数も等しい場合です。本問の g/f を整理すると分子が1次式、分母が2次式で増加速度が明らかに異なるため、比が1に収束することはありません。f と g が「似た形の分数関数」であることから直感で1と答えてしまわないよう、必ず1つの分数に整理して次数を確認する習慣が大切です。

選択肢 ウ

b/a という値は、分子と分母の次数が等しい場合に現れる「最高次係数の比」の形です。例えば lim b・t²/(a・t²) であれば b/a に収束しますが、本問は分子が1次、分母が2次で次数が一致しないため、係数の比は極限値になりません。係数 a、b が式に登場するため選びたくなる選択肢ですが、次数の比較を省略すると引っかかる典型的なダミーです。

選択肢 エ

∞ に発散するのは分子の次数が分母より高い場合です。本問はその逆で、分母（2次）の方が分子（1次）より高次なので、t が大きくなるほど分数全体はどんどん小さくなり 0 へ収束します。g(t) と f(t) がそれぞれ単体では 0 に近づくことから「0/0 の不定形だから発散しそう」と誤解しがちですが、不定形は必ず式を整理してから判定する必要があります。

解くときのポイント

多項式の比の極限は次数比較で一発: 分母が高次→0、同次→最高次係数の比、分子が高次→∞。まず g/f を1つの分数に整理することが第一歩。