解説

ニュートン法（Newton-Raphson法）は非線形方程式f(x)=0の近似解を数値的に求める反復法です。手順の特徴は「接線を利用してx軸との交点を次の近似点として更新する」点にあります。具体的な手順：①初期値x₀を設定→②点(x₀, f(x₀))での接線の方程式を求める（傾きはf'(x₀)）→③接線y=f'(x₀)(x-x₀)+f(x₀)をy=0とおくとx₁=x₀-f(x₀)/f'(x₀)→④x₁を新たなx₀として収束まで繰り返す。接線と微分を使った反復改善により、二次収束（誤差が二乗に比例して減少）する高速な解法です。選択肢dが正解です。

なぜ他の選択肢は違うのか

選択肢 ア

オイラー法は常微分方程式の数値解法です。初期値問題y'=f(x,y)を離散的なステップで解く方法であり、非線形方程式f(x)=0の解を求めるものではありません。

選択肢 イ

シンプソン法（Simpson法）は数値積分の手法です。曲線下の面積を2次関数で近似して積分する方法であり、方程式の根を求めるニュートン法とは目的が異なります。

選択肢 ウ

ガウスの消去法は連立1次方程式を解く手法です。行列の前進消去と後退代入で解を求めるものであり、非線形方程式には直接適用できません。

解くときのポイント

数値解法の分類：ニュートン法（接線利用・非線形方程式）、2分法（区間を半分にする・非線形方程式）、ガウス消去法（連立1次方程式）、シンプソン法（数値積分）、オイラー法（常微分方程式）。「接線とx軸交点で更新」はニュートン法の唯一の特徴。